Eigenraum (@eigenraum.podcasts.social.ap.brid.gy)

EIG053 Im aperiodischen Labyrinth Thomas Kahle Heute geht’s um Labyrinthe (aber nicht um Irrgärten). Labyrinthe bestehen aus einem sehr stark aufgefalteten, aber eindeutigen Pfad – verirren unmöglich! Und wenn man diesen Pfad möglichst interessant wählen will, sollte er sich eher nicht wiederholen und immer wieder neue und überraschende Wendungen nehmen. Ein besonders interessantes Labyrinth wurde 2023 entdeckt im Graph einer aperiodischen Unterteilung der Ebene. * Freakshow 297 empfiehlt Sonic Pi. * Das komplizierteste Labyrinth der Welt (Spektrum+ Paywall) * Der Minotaurus im Labyrinth * Labyrinth Chartres * Labyrinth Magdeburger Dom * Baumlabyrinth in Buckau * Hamiltonian Cycles on Ammann-Beenker Tilings (arXiv) * Parkettierungen in ARTE Mathewelten. * Penrose-Parkettierung * Aperiodic Tiles (Ammann, Grünbaum, Shephard) * Quasikristall * Hamiltonscher Kreis * The math of Barcelona (New York Times) Feedback gerne auf Mastodon @[email protected], an feedback (bei) eigenpod.de oder in die Kommentarspalte auf der Episodenseite. Automatisch generiertes Transkript (nicht geprüft) Music. So, hallo zusammen, ich begrüße euch zu einer neuen Folge Eigenraum, 53 müsste es sein nach meiner Zählung. Ich grüße euch hier aus meinem Eigenraumstudio und die Eigenraum Universal Time ist 10.36 Uhr. So, dieses Intro, dieses Intro, da muss ich nochmal irgendwas machen. Ich habe neulich im Freakshow-Podcast was über programmatisch dynamische Musik gehört. Da möchte ich mal ein bisschen was ausprobieren, um euch vielleicht das Anhören des Eigenraums noch etwas zu erleichtern und dieses Intro wieder loszuwerden. Aber ich möchte irgendwie was, was schon irgendwas mit Zahlen zu tun hat, programmatisch ist, wo irgendwie die Primzahlen einfließen, also ein Jazz-Sample aus dem Internet, ich weiß nicht, das wird es irgendwie nicht werden. Oder jemand von euch da draußen kennt eine Musikerin oder einen Musiker, die vielleicht ein bisschen mathematisch inspiriert ist und mir dabei helfen könnte. Dann wäre ich natürlich auch über einen Kontakt sehr dankbar. Ansonsten, naja, ich arbeite daran, wenn es die Zeit mal zulässt. So, und ich will euch heute was berichten. Ich kam nämlich neulich an einem Artikel vorbei auf spektrum.de und der hatte den Titel Das komplizierteste Labyrinth der Welt, geschrieben von Lars Fischer. Manche kennen ihn auch als Fischblog. Und ich habe ihn natürlich auch verlinkt, diesen Artikel. Und dieses Labyrinth, das sieht echt super tricky aus. Also wenn ihr Kapitelbilder habt, dann seht ihr jetzt auch einen Ausschnitt. Für alle anderen, also euch Spotify-HörerInnen da draußen, ihr verpasst was, beschreibe ich das jetzt mal ein wenig. Also das ist, in dem Bild seht ihr so einen ganz, ganz komplizierten, verschlungenen Pfad. Also eigentlich eine Linie, eine einzige durchgehende Linie, die die ganze Zeit so um Ecken geht und sich um sich selbst windet, nach innen, wieder nach außen und so ganz aufgefaltet wirkt. Also ein einzelner Pfad, eine Linie, die so ganz aufgefaltet ist, sodass sie in einer kreisförmigen, kompakten Struktur einen komplizierten Pfad abläuft. Also können wir also mit so ein ganz bisschen allgemeiner Labyrinth-Theorie einsteigen. Unter den Labyrinth-Pedantinnen und Pedantinnen ist es so, dass man erstmal klassische Labyrinthe von Irrgärten unterscheiden muss. Also ein Labyrinth ist für diesen Podcast und in der klassischen Theorie ein geschlossener Weg ohne Verzweigung. Also kann man sich in einem Labyrinth eigentlich gar nicht verirren, sondern ein Labyrinth ist eben nur ein sehr, sehr langer Weg, aber es gibt keine Möglichkeit sich zu verlaufen, der Weg ist eben nur sehr aufgefaltet. Da gab es ja mal das Monster, was halb Mensch, halb Stier ist, der Minotaurus und der wurde in einem Labyrinth gefangen gehalten, aus dem er nicht entkommen konnte und irgendein Held, ich habe vergessen welcher es war, ist dann auch mal aufgebrochen, um dieses Monster zu besiegen und damit er den Rückweg aus dem Labyrinth wieder findet, hat er so einen roten Faden. Den Ariadnisfaden, wenn ich mich recht erinnere, mitgeführt. Immer abgewickelt und dann beim Zurückgehen wieder aufgewickelt. Wobei das jetzt nach der klassischen Labyrinth-Theorie ja eigentlich nicht nötig gewesen wäre, weil er einfach hätte umdrehen können und wieder zurücklaufen. Also in einem Labyrinth, so wie wir es heute verstehen, gibt es keine Irrwege und so ein Labyrinth mit Verzweigungen würde man dann eher als Irrgarten bezeichnen. Also dieses komplizierteste Labyrinth der Welt, was der Fischblog in seinem Artikel beschrieben hat, Das ist also ein Labyrinth im klassischen Sinne und kein Irrgarten, sondern ein sehr komplizierter Pfad ohne Abzweige. Diese Art von Labyrinthen, die sind in der Kultur und in der Architektur sehr verbreitet. Solche klassischen Labyrinthe gibt es an vielen Orten und meistens sind die jetzt nur noch als so Bodenmuster gekennzeichnet. Also man läuft gar nicht entlang von Wänden, sondern der sich windende Pfad ist auf dem Boden markiert und man hält sich dann einfach an die Regeln, indem man den Pfad verfolgt und dann kann man auch eine relativ lange Strecke auf relativ engem Raum zurücklegen und dann über das Leben und das Laufen nachdenken, wenn man möchte. Also in französischen Kathedralen kommt das zum Beispiel häufiger vor, da hat man auf dem Boden dann meistens irgendwie so ein kreisförmiges Muster und irgendwo an der Seite ist dann der Eingang und Ausgang und da fängt man einfach an zu laufen. Und man läuft dann einen Pfad, der führt einen erstmal so in Richtung der Mitte des Kreises, dann ein bisschen dort entlang, dann wieder ein Stück weg und das symbolisiert so den Strudel des Lebens oder das Bemühen nach der Erlösung. Man kommt zu einem Ziel, der Mitte nahe, man entfernt sich wieder und man geht die ganze Zeit vorwärts. Also das häufigste solche Muster, das nennt man auch das Labyrinth vom Typ Chartres. Das findet sich nämlich in der Kathedrale in Chartres, eine Stadt in Nordfrankreich und in Magdeburg, wo hier der Eigenraum aufgenommen wird, gibt es auch meiner Kenntnis nach sogar zwei solche Labyrinthe, die davon inspiriert sind. Also erstmal direkt vor dem Magdeburger Dom, wurde vor nicht allzu langer Zeit, vielleicht 10, 12 Jahren oder so, ein solches Typ Chartre-Labyrinth vorgestellt, gepflastert in das Pflaster vor dem Tor des Doms. Und im Stadtteil Bukau gibt es noch ein Baumlabyrinth, wo mit der Natur so ein Pfad, in dem Fall nicht kreisförmig, sondern quadratisch, angelegt wurde. Dazu kann ich euch auch mal eine Luftbildaufnahme verlinken. So, nun schrieb der Fischblog ja vom kompliziertesten Labyrinth, aber was macht so ein Labyrinth eigentlich kompliziert? Kann man das irgendwie messen? Wenn man sich da drin nicht verirren kann, dann ist ja zumindest das Entkommen oder Reingehen nicht so kompliziert. Und dieses verlinkte hier, das hat jedenfalls in der Draufsicht schon fast so eine hypnotische Form, es gibt irgendwie viele Richtungswechsel und es hat irgendwie eine interessante Struktur und sieht von oben einfach gut aus. Und deswegen wollen wir jetzt mal sehen, was es mit der Komplexität auf sich hat. Außerdem ist es algorithmisch erzeugbar, in beliebiger Größe und es hat auch so eine seltsame Selbstähnlichkeitseigenschaft. Wenn man sich dieses Labyrinth mal in Riesig vorstellt, dann läuft der eindeutige Pfad, ist ja nur ein Pfad, immer so in einer bestimmten Gegend, so ein bisschen herum und wechselt dann wie in eine andere Gegend. Also man kann das Labyrinth so in Gegenden unterteilen und dann läuft der Pfad immer erstmal in einer Gegend, so ein bisschen rum, geht dann in die nächste Gegend, läuft da ein bisschen rum, geht wieder in eine Gegend und läuft da ein bisschen rum. Und wenn man die Augen so ein bisschen zukneift und von weiter weg schaut. Dann sieht der Weg, wie der Pfad im Labyrinth von Gegend zu Gegend gegangen ist, der sieht aus der Ferne genauso aus, wie wenn man im Detail auf den Weg innerhalb einer Gegend schaut. Und das bezeichnet man so als Selbstähnlichkeit, also so auf verschiedenen Skalen, von verschiedenen Entfernungen auf das Labyrinth zu schauen und dann bestimmte Abschnitte des Wegs zusammenzufassen, ergibt wieder eine Ähnlichkeit. Also es gibt immer ähnliche Strukturen auf verschiedenen Skalen. Und es gibt auch einen systematischen Grund, warum dieses Labyrinth diese tollen Eigenschaften hat und das ist, dass dort aperiodische Unterteilungen zugrunde liegen. Und das schauen wir uns jetzt mal an oder hören uns mal an in eurem Fall. Und entdeckt wurde dieses Labyrinth 2023, vor zwei Jahren, in einem Paper Hamiltonian Cycles on Amin-Beaker-Teilings von drei Physikern, Sing, Lloyd und Flickers, auch in Physical Review der Zeitschrift erschienen. Und die drei haben sich nämlich Graphen von aperiodischen Unterteilungen der Ebene angeschaut. Unterteilungen der Ebene sind ja aus dem Alltag bekannt, zum Beispiel von den Wandebenen in eurem Bad oder, wenn ihr mal in einem schönen Altbau seid, den Bodenparkettierungen. Also wenn man eine Fläche hat und sie ist gefließt oder parkettiert, dann hat man eben eine Unterteilung in die einzelnen Parkettfliesen, Parkettteile oder Wandfliesen. Und die soll möglichst alles ausfüllen, damit da keine Löcher im Boden sind oder an der Wand und das nennt man dann eine Parkettierung. Also in der Mathematik wird das modelliert natürlich immer für die ganze unendliche Ebene und in eurem Badezimmer oder Wohnzimmerfußboden seht ihr dann einen Ausschnitt davon. Und die einfachste, die man sich vielleicht vorstellen kann, besteht zum Beispiel aus nur quadratischen Fliesen gleicher Größe, die man einfach immer so im Gitter Kante an Kante nebeneinander legt. Und das ergibt ein ganz einfaches Muster, was man in vielen Badezimmern oder Fußböden sehen kann. Eine etwas schönere Fliesung kann man zum Beispiel auch machen, indem man Achtecke nimmt, also so Stoppschildformen. Nur mit Achtecken kann man die Ebene aber nicht komplett ausfüllen, die passen nicht zusammen. Wenn man die so möglichst dicht legt, bleiben immer noch so etwas kleinere Quadrate über, da wo an den Achtecken sozusagen oben Ecken abgeschnitten wurden, damit sie aus dem Quadrat zum Achteck wurden. Und die könnte man dann wieder mit Quadraten füllen. Also man könnte sich auch so Paketierungen vorstellen, in denen man zwei verschiedene Teile kombiniert. Und das sieht dann vielleicht auch ganz schick aus, wenn die in unterschiedlichen Farben sind oder so an der Badezimmerwand. Da gibt es also ganz, ganz viele Möglichkeiten und die kann man überall auf den Böden und Wänden der Welt sehen. So, die meisten dieser Paketierungen sind nun aber regelmäßig. Das bedeutet, dass man sie erstens einfacher bauen kann und zweitens nur ein endliches Stück beschreiben muss und die ganze Paketierung der unendlichen Ebene dann daraus besteht, dass dieses endliche Stück einfach immer wieder kopiert und dran gefügt wird. Also zum Beispiel bei dieser quadratischen Paketierung, die nur aus gleich großen Quadraten besteht, da nimmt man ja einfach nur das eine Quadrat und legt es genau rechts nochmal daneben, genau rechts nochmal daneben, genau nochmal darüber hin. Und füllt so alles aus. Und dann hat man eben eine sogenannte Translationssymmetrie. Wenn man sich das fertige, unendliche Muster vorstellt, könnte man dieses Muster auch um ein Quadrat nach rechts verschieben und erhält wieder ein Abbild von genau dem gleichen Muster. Das kommt also auf sich selbst zu liegen, wenn man es verschiebt. Bei dem quadratischen Muster nach rechts, ein Schritt nach rechts oder ein Schritt nach oben, unten, da gibt es sogar mehrere Möglichkeiten und diagonal wäre auch möglich. Ich verlinke euch mal ein sehr schönes Video aus der Arte-Reihe Mathe-Welten auf YouTube, in dem so verschiedene Paketierungen visualisiert werden, sehr aufwendig. Also das sind mal gut investierte 10 Minuten. Und nun trug es sich aber im 20. Jahrhundert zu, dass auch Unterteilungen, Paketierungen entdeckt wurden, die aperiodisch sind, also die keine solche Translationssymmetrie aufweisen. Also egal, wie man die unendlich ausgedehnte Parkettierung der Ebene verschiebt, egal in welche Richtung, egal wie weit, sie kommt niemals wieder auf sich selbst zu liegen. Das nennt man eine aperiodische Unterteilung. Und solche wurden beweisbar entdeckt in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts, so in den 60er Jahren. Und die bekannteste ist wahrscheinlich das Penrose-Muster. Das besteht aus zwei verschiedenen Fliesen. Also man braucht zwei für dieses Muster. Die werden auch Drachen und Pfeil genannt. Das sind beides Vierecke. Eins ist eher flach und eins ist recht gleichmäßig. Sieht aus wie so ein Drachen aus einem Kinderbuch. So einer mit Schnur, der am Himmel fliegt, aus Pergament, Papier und Holz gebaut. Und mit diesen Teilen kann man die Ebenen so und so vollpflastern, dass es keine Verschiebung gibt, die das wieder auf sich selbst abbildet. Das heißt aber nicht, dass es in diesem Muster, in dieser Penrose-Paketierung, keine Symmetrie gibt. Also es kann auch in so aperiodischen Paketierungen immer noch zum Beispiel eine Drehsymmetrie geben, wenn man also das ganze Bild um einen bestimmten Winkel dreht, dass es dann wieder auf sich selbst zu liegen kommt. Es gibt eben nur keine Verschiebungen, die das leisten. Verschiebungen in eine fixe Richtung. Das nennt man dann aperiodisch, wenn es keine solche Verschiebung gibt. Nach Penrose wurden kurze Zeit später auch noch weitere aperiodische Unterteilungen bekannt in einem Paper von Amann, Grünbaum und Shepard, was ich euch auch mal verlinke, was auch sehr schön einige der Prinzipien erklärt. Und was interessant ist, ist diese Beweismethode. Ich hatte das kürzlich mal auf Mastodon und Blue Sky gepostet, ich finde das recht genial. Also ich habe das da visualisiert an dem sogenannten M&Chair, das ist das Muster K2 in dem verlinkten Paper. Und da hat man zwei Teile A und B, die beide so aussehen wie ein Rechteck, aus dem oben rechts wieder so ein kleines Rechteck rausgeschnitten wurde. Also das ist wie so eine Ecke fehlt und dann entsteht so ungefähr so ein Muster wie so ein Stuhl. Also man stellt sich vor ein Rechteck und dann ist oben rechts was rausgeschnitten. Und das ist zweimal so ein ähnliches Teil. Eins ein bisschen kleiner, eins ein bisschen größer. Durch geschickte Wahl der Parameter kann man sogar erreichen, also gibt es dann noch Parameter, die Längen von den verschiedenen Kanten, die da an diesen Polygonen vorkommen, dass es zweimal die gleiche Form ist. Einmal in groß und einmal in klein. Naja, das seht ihr jetzt auch in eurem Podcast-Player, wenn der das unterstützt. Und jetzt kommt der Clou, was diese Teile so besonders macht, ist, aus diesen Teilen kann man wieder die gleichen Teile in größer bauen. Also mit genau den gleichen Seitenverhältnissen. Wenn man das kleinere nimmt, das eine, das A-Teil und dann das B-Teil auf eine bestimmte Art und Weise da drauf setzt, dann entsteht wieder etwas, das genau wie das A-Teil aussieht. Das die gleichen Proportionen hat, nur entsprechend jetzt größer, denn es besteht ja aus einem alten A-Teil und einem B-Teil zusammen. Aber die Form ist wieder genau die vom A-Teil. Und aus einem kleinen A-Teil und zwei großen B-Teilen kann man auch ein B-Teil wieder bauen, was eben auch hochskaliert ist, größer ist und jetzt schon eine Unterteilung eben in ein A-Teil und zwei B-Teile hat. Nur eben größer. Und aus diesen beiden größeren Teilen, jetzt habe ich die ja vergrößert, kann ich ja wieder ein noch größeres A-Teil und ein noch größeres B-Teil bauen. Und damit baut man sich dann so gedanklich immer weiter, immer noch größere Teile und der Grenzwert davon ist dann die Paketierung der Ebene, indem man immer wieder das Teil aus sich selbst zusammensetzt, eine größere Kopie davon bekommt und das dann nimmt, um es nochmal zusammenzubauen und das dann nimmt, um es nochmal zusammenzubauen und so kann man immer größer werdende, endliche Ausschnitte davon, von der Paketierung beschreiben und das ist eine Konstruktionsvorschrift, die auch zu einer Paketierung führt. Und interessanterweise ist diese Konstruktionsvorschrift, die ist auch schon so selbstähnlich. Also wenn ich so in das Teil, ich habe eine Paketierung aus großen Teilen und wenn ich reinschaue, besteht jedes von diesen großen Teilen wieder aus den Teilen, nur in kleiner. Da hat man diese Selbstähnlichkeit wie bei dem Labyrinth schon eingebaut. Und jetzt kommt der Clou, warum ist das jetzt aperiodisch? Das ist mal wieder die Magie des Widerspruchsbeweises. Also für einen Widerspruchsbeweis nehmen wir immer mal an, das Gegenteil von dem, was wir zeigen wollen. Also können wir mal annehmen, das konstruierte Muster, was ich eben beschrieben habe, das wäre periodisch. Und es gibt jetzt irgendeine Verschiebung, die das wieder auf sich selbst abbildet. Und die Verschiebung hat irgendeine Länge, die nennen wir L. Und das aus den entsprechend größeren zusammengesetzten Steinen gebildete Muster, das muss ja auch periodisch von der Länge L sein. Weil das ursprüngliche Muster war ja auch schon periodisch von der Länge L. Vielleicht muss man es irgendwie noch drehen, die Richtung oder so, aber es muss jedenfalls auch periodisch von der Länge L sein. Denn diese Länge, die gehört eben zu dem Muster dazu. Und jetzt kann ich aber aus den größeren Steinen ja wieder noch ein größeres Muster bauen, was auch wieder periodisch der Länge L ist, aber aus größeren Steinen besteht. Und daraus kann ich wieder ein periodisches Muster der Länge L bauen, was aus noch größeren Steinen besteht. Und wenn ich das ein paar Mal gemacht habe, dann sind meine Steine ja schon größer als die Länge L. Das war jetzt natürlich noch kein vollwertiger Beweis. Den vollwertigen Beweis könnt ihr in dem Paper von Aman und Co. lesen. Und ich würde mal sagen, es ist eine Beweis-Idee. Also vielleicht stand am Anfang des Beweises die Idee, diese Art von Argument auszunutzen. Und da muss man es natürlich noch ein bisschen genauer formulieren, wie man die Teile zusammensetzt und was diese Periodenlänge L ist und so weiter. Gut, also so zeigt man, dass das aperiodisch ist. Und ich denke auch, die gleiche Idee wurde von Penrose auch verwendet, aber da bin ich mir jetzt nicht so ganz sicher. 2023 gab es dann noch eine aufsehenerregende Entdeckung, da wurde nämlich das Monoteil entdeckt. Ein einziges Teil, also sowohl diese Amann-Unterteilung als auch das Penrose-Muster bestehen ja aus zwei verschiedenen Teilen. Es geht aber auch, eine apärodische Unterteilung zu konstruieren mit einem einzigen Teil, dem sogenannten Monoteil-Eigenraum berichtete, in Folge Eigenraum 20, hexagonale Spiele. So, nun kommen wir aber zurück zum Labyrinth. Solche aperiodischen Unterteilungen, die erzeugen nämlich auch starkes Interesse in der Physik. Diese Struktur, diese Selbstähnlichkeit und dieses Zusammensetzen von Teilen aus kleineren Kopien von den gleichen Teilen auch in der Natur vorkommt. Nämlich bei sogenannten Quasi-Kristallen. Das ist eine seltsame Struktur, die experimentell so in den 80er Jahren entdeckt wurde. 1982 gab es dann auch einen Nobelpreis für 2021, nein 2011 gab es den Nobelpreis und 1982 wurden sie experimentell von Daniel Schechtman entdeckt. Und diese Quasikristalle, die haben so eine Regelmäßigkeit in ihrer Struktur, aber nicht regelmäßig genug, um eine Kristallstruktur zu sein. Also eine Kristallstruktur hat eben so eine elementare Zelle und dann so eine Translationssymmetrie. Also alles entsteht durch Verschiebung der elementaren Zelle. Aber bei Quasikristallen ist das nicht so. Sie haben zwar Konstruktionsprinzipien, Regelmäßigkeiten, aber keine solche Translationssymmetrien. Und das ist das gleiche Konstruktionsprinzip wie bei unseren aperiodischen Unterteilungen. Natürlich braucht man nun, wie es immer so ist, eine dreidimensionale Theorie und naja, da haben sich dann die theoretischen Physikerinnen und Physiker damit auseinandergesetzt, wie man aus Verständnis von aperiodischen Unterteilungen irgendwelche interessanten physikalischen Gesetzmäßigkeiten ableiten kann, die dann nützlich sind, um zum Beispiel Katalysatoren zu bauen oder so. Und deswegen schreiben die jetzt auch Paper darüber, weil sie eben mehr über die Eigenschaften von solchen Unterteilungen wissen wollen. Und so haben dann die Physiker Singh, Lloyd und Flicker in ihrem Paper den Graphen. Einer solchen Parkettierung untersucht. Und der Graph bezeichnet jetzt so einen mathematischen Graphen, wie wir ihn auch aus Eigenraumfolgen 11 und 12 kennen, die sich ja um Graphentheorie drehen. Also wie entsteht jetzt aus der Parkettierung ein Graph? Das ist ein ganz schöner Zusammenfall der Notation. Also als Ecken dieses Graphen, den man aus der Parkettierung machen will, nimmt man die Ecken. Also die Ecken sind die Ecken von den Polygonen, die man in der Unterteilung benutzt hat. Und jetzt dürft ihr raten, was die Kanten sind. Also als Kanten nimmt man dann die Kanten. Also man malt sich einfach die Paketierung hin und immer da, wo die Kanten von den Polygonen aneinander treffen, da macht man halt eine Ecke. Und dann hat man einen Graphen. Und über die Großstruktur dieser Graphen ist gar nicht so viel bekannt. Und was nun Singh und Co. Gemacht haben, ist in diesem Graphen von einer bestimmten, von Amman und Beaker gefundenen aperiodischen Unterteilung mit so einer Selbstähmlichkeit, hamiltonsche Kreise zu finden. Kleine Erinnerung, Hamilton'sche Kreise, das sind ja die Spaziergänge in so einem Grafen, die jede Ecke genau einmal treffen. Also man will an jedem Ort einmal vorbeikommen, nicht zu verwechseln mit Euler-Kreisen, die vom Königsberger Brückenproblem kommen, wo man ja jede Kante oder jede Brücke in Königsberg einmal ablaufen will. Die Theorie der Hamilton'schen Kreise ist viel schwieriger, was den folgenden Satz auch ein bisschen interessanter macht. Also so Graphen zu finden, die hamiltonische Kreise besitzen, hamiltonische Kreise finden und entscheiden, ob ein Graph einen hamiltonischen Kreis besitzt, ist relativ kompliziert im Vergleich zu eulerschen Kreisen. So, und die Physiker haben jetzt bewiesen den folgenden Satz. Wenn man also diesen Graphen nimmt, der aperiodischen Unterteilung, die sie da betrachten, und irgendeine endliche Teilmenge von seinen Ecken, dann gibt es eine endliche Obermenge davon, also eine etwas größere Menge von Ecken, die einen Hamilton-Kreis enthält. Also es gibt, wenn ich meine Eckenmenge vorgebe, dann finde ich einen Hamilton-Kreis, der durch meine vorgegebene Eckenmenge geht und vielleicht noch irgendwelche anderen Ecken, die ich noch dazunehmen muss. Es gibt im Paper auch eine Schranke für die Größe der Menge der zusätzlichen Ecken, die ich noch hinzunehmen muss. Aber letztendlich gibt es eine sehr konstruktive und effiziente Methode, um solche Kreise, Hamilton-Kreise in diesem sehr selbstähnlichen, aperiodischen Graphen zu finden. So, und das ist jetzt das super komplizierte Labyrinth vom Anfang. Das super komplizierte Labyrinth, das macht man genau so, man nimmt einen schönen großen Hamilton-Kreis in einem Ausschnitt der aperiodischen Paketierung und ja, jetzt muss man das nur noch bauen. Also man könnte es pflastern, auf den Boden einer neuen Kathedrale, einer Kathedrale, der Mathematik gewidmet ist. Und ich kann es mir sehr, sehr meditativ und inspirierend vorstellen. Dann diesen Pfad abzulaufen. Aber ich weiß nicht, wo diese Kathedrale der Mathematik gebaut werden wird. Ein Ort, der mir jetzt einfällt, wäre vielleicht Barcelona. Es gab in der New York Times einen Artikel über die Mathematik der Architektur von Barcelona. Könnte ich euch auch mal noch mal verlinken. Vielleicht findet ihr da noch ein bisschen Inspiration. Aber die Sagrada Familia, ich glaube, die sollte jetzt auch langsam mal fertig werden. Ich weiß nicht, ich will die jetzt da nicht noch belästigen mit, wie wäre es mit diesem interessanten Bodenlabyrinth für den Boden eurer Kathedrale? Ja, ich glaube, das wird dann die nächste 200-jährige Bauzeit irgendwo in einer anderen Stadt werden. So, das war's für heute. Malt euch ein Labyrinth, baut euch eine Kathedrale der Mathematik und konstruiert euch einen Hamilton-Kreis in einer aperiodischen Parkettierung der Ebene und bleibt auch sonst neugierig und schaltet auch beim nächsten Mal wieder ein. Ich wünsche euch alles Gute, bis bald. https://eigenpod.de/eig053-im-aperiodischen-labyrinth/