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EIG051 Dreiecke unterm Kopfkissen Thomas Kahle Stellt euch mal irgendein Dreieck vor. Habt ihr? Ist es stumpf- oder spitzwinkling? Ich vermute spitzwinklig, aber dafür gibt es überhaupt keinen Grund. Ein zufälliges Dreieck ist nämlich stumpfwinkling, jedenfalls mit 75% Wahrscheinlichkeit. Das Problem diese Wahrscheinlichkeit zu finden stammt vom englischen Autor Lewis Carroll, der auch Alice im Wunderland verfasst hat. Seine Lösung war aber doch etwas naiv. Besser geht es, wenn man alle Dreiecke auf einer Halbkugel verortet. * * Numberphile über ein anderes Pillow Problem * Pillow Problems (The mathematical recreations of Lewis Carroll) * Dodgeson condensation * Random Triangle Theory with Geometry and Applications (Edelman, Strang) * A million random digits (das Buch) * Zufallsmatrizentheorie Hier ist noch das in der Folge besprochene Bild, in dem 50.000 Dreiecke als Punkte dargestellt sind. Feedback gerne auf Mastodon @[email protected], an feedback (bei) eigenpod.de oder in die Kommentarspalte auf der Episodenseite. Automatisch generiertes Transkript (nicht geprüft) Music. So, hallo, willkommen zu Folge 51 hier im Eigenraum. Freut mich, dass ihr eingeschaltet habt oder abonniert habt oder wie auch immer ihr das hier findet. Mein Name ist Thomas Kahle, ich bin Mathematiker aus Magdeburg an der Elbe und mache hier einen kleinen Mathe-Podcast, weil ich denke, dass es nicht genug Mathe-Podcasts gibt. Einige werden das jetzt vielleicht gerade über Spektrum der Wissenschaft entdeckt haben oder sogar gerade auf der Seite spektrum.de diese Folge anhören. Und da bin ich natürlich sehr happy darüber, dass ihr diesen Podcast entdeckt habt, und wenn es euch gefällt, dann könnt ihr den Podcast natürlich auch gern abonnieren und am liebsten ist mir das, wenn ihr das in einer echten Podcast-App macht, zum Beispiel Overcast, das ist so eine iOS-App oder Pocketcasts oder Podcast Addict oder wie sie alle heißen, also das sind so richtige Qualitäts-Podcasts-App. Und dann gibt es ja noch Spotify, viele, wie ich den Statistiken entnehme, hören Eigenraum auch gern auf Spotify. Spotify ist ja nicht so richtig eine Podcast-App. Also es ist eine App, mit der man Podcast hören kann, aber da verzichtet ihr eben auch auf gute Transkripte, auf Kapitelbilder und natürlich ihr werdet in eurem Verhalten getrackt und vielleicht kommt irgendwann Ralf Schumacher und will euer Auto kaufen, statt dass ihr hier Premium-Eigenraum-Content bekommt. Also wenn das passiert, dann sagt nicht, ich hätte euch nicht gewarnt. Es gibt im Eigenraum keine Werbung, es wird im Eigenraum auch keine Werbung geben. Das hier ist beste Indie-Qualität Und wenn ihr Werbung hört, dann liegt es daran, dass ihr einen Anbieter gewählt habt, der euch diese Werbung noch reinschaltet. Und wenn ihr denkt, dann bekommt der Thomas wenigstens was dafür, dann stimmt das leider nicht. Ich bekomme gar nichts dafür. So, und jetzt soll es auch schon losgehen. Beim Sport fängt man ja immer an mit einer kleinen Erwärmung. Dann machen wir auch unsere kleine Mathe-Erwärmung. Die Erwärmung kommt heute aus der Geometrie, der Geometrie der Ebene. Also stellt euch mal so eine Ebene vor. Sie erstreckt sich unendlich in alle Richtungen, also in zwei Richtungen. So, und jetzt denkt euch in eurer schönen Ebene mal irgendein Dreieck. Okay, habt ihr eins? Und meine Frage ist jetzt, ist euer Dreieck, was ihr euch gerade überlegt habt, ist es ein stumpfwinkliges Dreieck oder ein spitzwinkliges Dreieck? Und für die Frage interessiere ich mich heute. Und, naja, also nicht für die, was ihr... Euch für ein Dreieck gedacht habt, das wird jetzt kein Psychologie oder so paranormaler Podcast werden, wo ich errate, was ihr euch für ein Dreieck denkt, sondern ich sag mal ein zufälliges Dreieck. Wenn man jetzt ein zufälliges Dreieck nimmt, ist das ein stumpfwinkeliges Dreieck oder was ist die Wahrscheinlichkeit dafür? Also nochmal kurz für alle, deren Grundschule schon lange her ist. Also ein Dreieck hat ja drei Ecken und da hat es auch drei Winkel innen drin an diesen Ecken. Und deren Summe ergibt immer 180 Grad. Das setze ich jetzt mal voraus als Grundwissen für die Podcast-Hörenden hier. Und jetzt kann es sein, dass ein Winkel ganz viel von diesen 180 Grad für sich nimmt. Zum Beispiel mehr als die Hälfte, mehr als 90 Grad. Und das ist dann ein stumpfer Winkel, weil es an der Außenseite dann halt nicht mehr so pieksig ist. Und 90 Grad ist ja bekanntermaßen genau der rechte Winkel. Und wenn man ein rechtwinkeliges Dreieck hat, dann hat es also einen Winkel, der 90 Grad hat. Das liegt genau zwischen den Spitzenwinkeln und den stumpfen Winkeln. Und was kennt man noch so für Dreiecke? Also man kennt zum Beispiel das gleichseitige Dreieck. Im gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten, also alle Kanten, die das Dreieck begrenzen, gleich lang. Demzufolge sind auch alle Winkel gleich groß. Und da sie zusammen 180 Grad ergeben müssen, müssen dann alle Winkel jeweils 60 Grad sein, sind also drei spitze Winkel. Also wenn ihr euch ein gleichseitiges Dreieck jetzt vorgestellt habt, dann habt ihr euch kein stumpf winkeliges Dreieck vorgestellt. Aber wenn ihr euch ein Dreieck vorgestellt habt, was so ganz platt gedrückt ist, dann hat es einen stumpfen Winkel. Allerdings, wenn ihr euch jetzt wirklich ein rechtwinkliges Dreieck vorgestellt habt oder gar ein gleichseitiges Dreieck, dann, ich weiß auch nicht. Ich habe ja gesagt, ihr solltet euch irgendein Dreieck denken. Also das wäre ja schon ein ziemlich spezielles Dreieck. Also, naja, ich hoffe, ihr habt jetzt irgendwie so ein paar Dreiecke vor Augen und will mir jetzt mal überlegen, wie man diese Frage untersuchen kann. Also, Mathe ist jetzt vielleicht nicht eine empirische Wissenschaft, aber man könnte ja mal empirisch vorgehen und sich zum Beispiel mal alle Schulbücher der elementaren Geometrie durchschauen. Da sind ja bestimmt so Illustrationen von Dreiecken drin. Was würdet ihr denn denken, was da für Dreiecke drin sind? Also, ich würde irgendwie vermuten, dass da nicht so viele Stumpfinklige drin sind. Kann man natürlich irgendwie spekulieren, aber irgendwie kommt es mir mehr oder weniger so vor, als würde da, also ich habe jetzt so ein Buch hier vor mir und das sieht mir so aus, da soll irgendwie ein Dreieck dargestellt werden, so irgendein zufälliges Dreieck und es sieht mir so aus, als ob irgendwie da ein gleichseitiges Dreieck genommen wurde und dann das so ein bisschen verschoben wurde, also nicht das Dreieck verschoben, sondern ein Eckpunkt so ein bisschen verschoben wurde, es wurde so ein bisschen verformt, das Dreieck, sodass es eben nicht mehr gleichzeitig ist, aber auch nicht rechtwinklig, aber es ist auf jeden Fall spitzwinklig. Und irgendwie sagt mir mein Gehirn, dass das so ein normaler Prozess ist. Also wenn man sich so ein Dreieck vorstellt, stellt man sich irgendwie ziemlich selten so ein ganz platt gedrucktes Drücktes vor. Also wenn ihr bei der Erwärmungsaufgabe euch so ein ganz platt gedrücktes, sturmwinkliges Dreieck vorgestellt habt, dann herzlichen Glückwunsch. Aber bei mir war es jedenfalls nicht so. Und bei der Schulbuchautorin oder dem Schulbuchautor hier auch nicht. Natürlich denkt man vielleicht auch an rechtwinklige Dreiecke, weil man so viel über die gehört hat. Satz von Pythagoras und dieses ganze Zeug. Und deswegen kommt vielleicht auch die erste Idee, dass man erst so an ein rechtwinkliges Dreieck denkt und dann kommt wie so ein Korrekturprozess, dass man sich irgendwie denkt, achso, nee, ich sollte ja ein zufälliges Dreieck machen, dann mach ich mal lieber nicht sowas, was so einen Namen hat und bekannt ist und dann macht man aber nur noch gedanklich eine kleine Modifikation von dem rechtwinkligen Dreieck, was man sich vorher überlegt hatte. Es gibt ja auch so Untersuchungen, dass wenn man Leute so ganz schnell fragt, sag jetzt mal ganz schnell eine Farbe und ein Werkzeug, Und dass sie dann die meisten Rot und Hammer sagen. Und ich weiß nicht, wie es bei euch war, wenn ihr euch jetzt gerade eine Farbe und ein Werkzeug überlegt habt, ob es dann Rot und Hammer war, könnt ihr ja mal in die Kommentare auf Mastodon gerne schreiben. Ich weiß nicht, wie es euch geht, aber diese Frage, wie ein zufälliges Dreieck aussieht, klingt doch erstmal ziemlich einleuchtend und ziemlich natürlich. Also ist natürlich so, weiß man ja nicht, ob das irgendwie eine praktische Anwendung hat, aber so... Also meine Art von Mathematik stellt sich die ganze Zeit solche Fragen und ich habe das Gefühl, dass Mathematikerinnen und Mathematiker sich zu solchen Fragen hingezogen fühlen. Einfach zu formulieren und man merkt gleich irgendwie, da steckt doch irgendwie was drin. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Dreieck stummfinklig ist? Verrückte Sache. Und in der Tat ist dieses Problem mit der Form zufälliger Dreiecke, das ist sogar schon in die Literaturgeschichte eingegangen. Es wurde nämlich publiziert, schon im 19. Jahrhundert, von Lewis Carroll. Lewis Carroll ist ein englischer Autor und der ist am bekanntesten dafür, dass er das Buch Alice im Wunderland verfasst hat. Und der Lewis Carroll hat beim Einschlafen immer, so wird er zitiert, so berichtet er, immer so ganz schlimme Gedanken gehabt, die ihn irgendwie folterten. Und er wollte diesen Gedanken entkommen und brauchte deswegen irgendwas, über das er nachdenken konnte, während er versucht hat einzuschlafen. Und Podcast gab es ja damals noch nicht, also konnte er nicht mit Podcast einschlafen, also hat er Mathe benutzt, ist ja auch naheliegend. Also hat er sich immer so kleine Mathematikprobleme überlegt und dann beim Einschlafen über die nachgedacht. Und er nannte das seine Pillow Problems, also seine Kopfkissenprobleme und an dieser Stelle verlinke ich euch mal ein Numberphile Video. Wo sie diese Geschichte und die Geschichte eines dieser Probleme erzählen, aber eines anderen, das auch mit Wahrscheinlichkeitstheorie zu tun hat und wie so eine Art Urvater des Ziegenproblems war, falls das jemand kennt. Aber da will ich ja jetzt gar nicht hin. Lewis Carroll ist übrigens ein Pseudonym. Also der Typ war mehrfach begabt. Sein eigentlicher Name war nämlich Charles Ludwig Dodgson. Ludwig ist ein interessanter Vorname. Der sieht nämlich so ein bisschen aus wie Ludwig, aber dann eingeenglischt. Der hat, wie schon gesagt, im 19. Jahrhundert gelebt, ist 1898 gestorben und er war auch Mathematiker und hat sich zum Beispiel mit linearer Algebra beschäftigt. Er hat zum Beispiel eine Methode erfunden, wie man eine Determinante rekursiv berechnen kann, also eine Determinante einer N-Kreuz-N-Matrix. Ausdrückt als die Determinante einer aus der ersten Matrix berechneten n-1 Kreuz n-1 Determinante und dann noch einer n-2 Kreuz n-2 Determinante und diesen Prozess nennt man Dodgson Condensation. Der kann manchmal so in Beweisen in der linearen Algebra ganz nützlich sein. Ist natürlich jetzt nicht so bekannt wie gewisse Formeln für die Determinante, aber es ist eben auch mathematische Forschung, die Dodgson oder Lewis Carroll veröffentlicht hat. So, also zurück zum Pillow Problem. Es ist Pillow Problem Nummer 58. Diese Pillow Problems sind aus ganz verschiedenen Bereichen der Mathematik und nicht sehr viele, ich glaube eine Handvoll, sind nur über Wahrscheinlichkeitstheorie und unter anderem auch dieses Nummer 58. Also was ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliges Dreieck stumpfwinklig ist? Und das Buch von Dodgson, das war so eine Art Angeberbuch, also es enthält auch gleich immer die Lösung. Also es war jetzt nicht so, ich habe mir ein schönes Problem überlegt Und jetzt überlegt ihr auch mal, sondern immer gleich mit Lösung. Und seine Lösung geht so. Wir nehmen mal an, es gibt Dreieckpunkte, dann nennen wir sie ABC und die Seite zwischen A und B sei jetzt mal die längste Seite von dem Dreieck. Oder wenn es mehrere gleich lange längste Seiten gibt, dann eine von denen. Okay? Und das ist eigentlich so eine typische Mathematiküberlegung, dass man jetzt so erstmal so eine Art Normalisierung des Problems macht. Und ohne Beschränkung der Allgemeinheit, wie wir gerne sagen, also durch Umnummerieren der Ecken oder so, die aber sowieso alle gerade zufällig gewählt wurden, können wir jetzt einfach annehmen, zwischen A und B ist die längste Seite. Und jetzt gibt es noch den dritten Eckpunkt, C. Und der hat jetzt nur noch eine bestimmte begrenzte Fläche, wo er überhaupt liegen kann. Denn wenn er jetzt ganz weit weg von dieser Seite AB liegen würde, dann wäre AB ja nicht die längste Seite, weil dann der Abstand von A zu C oder der Abstand von B zu C oder beide noch viel länger wären als AB. Der muss also irgendwie ziemlich nah dran an dieser Strecke liegen. Und das kann man sich auch so hinmalen mit Kreisen. Ja, also macht ein Kreis vom Radiuslänge der Strecke AB um B und um A. Und dann muss er da irgendwie drin liegen in diesen beiden Schnitten. Sonst wäre ja eine weitere Seite länger. Also er hat nur diese bestimmte begrenzte Fläche, in der er landen kann. Und diese Fläche kann man jetzt relativ einfach sich überlegen, wie sehen denn die Winkel aus? Also je nachdem, wo der Punkt C in dieser Fläche liegt, kommt eben ein spitzwinkliges oder ein stumpfwinkliges Dreieck raus. Zum Beispiel, wenn er genau in der Mittelsenkrechte oben liegt, dann kommt das gleichseitige Dreieck raus. Und wenn er nah an der Seite liegt, eben ein stumpfwinkliges. Und dann nimmt er einfach die Flächeninhalte. Als Approximation für die Wahrscheinlichkeiten. Also jedes Dreieck hat den Punkt C irgendwo in diesem Bereich, wo der noch liegen kann. Und jetzt vergleicht er einfach die Flächeninhalte. Er teilt die Fläche, wo der landen kann, einfach durch den Teil, wo ein stumpfer Winkel herauskommt. Und bildet den Quotienten und kommt dann auf ca. 68% Wahrscheinlichkeit für einen stumpfen Winkel. 68%, also mehr als 50%. Es ist wahrscheinlicher nach seiner kleinen Rechnung, dass ein stumpfer Winkel rauskommt. Und jetzt sagt ihr bestimmt genial, also diese Normalisierung auf so eine ganz kleine, einfache Flächenberechnung ist ja ziemlich genial. Das Problem ist aber, das geht nicht. Also nach heutigen Standards würde man das als nicht so richtig korrekt ansehen, das Argument. Also der Flächenvergleich, den er macht, der basiert ja darauf, dass wenn ich eigentlich mein zufälliges Dreieck erzeuge, dass dann dieser Punkt C irgendwie mit gleichverteilter Wahrscheinlichkeit irgendwo in dieser Fläche landet. Aber das stimmt leider nicht, denn es handelt sich da um so eine, wie man heute sagen würde, bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung, in der schon einiges eingeflossen ist. Zum Beispiel, dass A, B die längste Seite ist und wenn A, B die längste Seite ist, dann sind manche Punkte wahrscheinlicher und andere Punkte unwahrscheinlicher für den letzten Punkt und seine Lage. Ein lustiges Gegenargument, was auch schon relativ früh bekannt war, ist, dass man diese gleiche Art von Argumentation auch mit der zweitlängsten Seite machen könnte. Dann wird es ein bisschen komplizierter, aber man kann auch so ein geometrisches Argument machen mit der zweitlängsten Seite und dann kommt man auf über 80% Wahrscheinlichkeit für ein stumpfwinkliges Dreieck. Nun war das also nur eine Einschlafüberlegung im 19. Jahrhundert und dafür war es ja erstmal gar nicht so schlecht. Und es kommt jedenfalls raus, dass es mehr stumpfwinklige als spitzwinklige Dreiecke gibt. So, wie löst man solche Dilemmata? Der Ausweg aus dem Dilemma ist nun endlich mal wirklich mit moderner Mathematik festzulegen und konkret zu sagen, was ein zufälliges Dreieck denn überhaupt sein soll. Also als Vorüberlegung kann man vielleicht noch festhalten, dass die Größe und die Lage des Dreiecks keine Rolle spielen. Es ergibt also Sinn, das irgendwie herauszurechnen, dass ähnliche Dreiecke nur einmal betrachtet werden. Wenn man ein Dreieck nimmt und das in seiner Größe skaliert oder es verschiebt, dann ändert es ja nichts daran, ob es stumpfwinklig oder spitzwinklig ist, also könnte man solche Normalisierungen vornehmen. Eine ganz einfache Idee ist zum Beispiel, die drei Winkel des zufälligen Dreiecks als drei nicht negative Zahlen zu nehmen, deren Summe 180 Grad ergibt. Also ein zufälliges Dreieck hat drei zufällige Winkel. Also, lass uns doch drei nicht negative Zahlen, oder sagen wir sogar positive Zahlen nehmen, deren Summe 180 ergibt. Und das ergibt dann einen Raum oder eine Menge von Triplen, von Winkeln, die kann man sich in den R3 zum Beispiel reinzeichnen, die ist zweidimensional, dadurch, dass die Summe festgelegt ist, ist sie nur noch zweidimensional, man kann zwei Zahlen frei wählen und dann ergibt sich die dritte durch 180 minus die Summe. Und die sieht auch wieder aus wie ein Dreieck. Das ist der zweidimensionale Simplex eingebettet in den dreidimensionalen Raum, auch bekannt als Dreieck. Und dann könnte man sagen, dass man einen zufälligen Punkt aus diesem Dreieck nimmt und schaut, mit welcher Wahrscheinlichkeit dort ein stumpfiges Dreieck herauskommt, ein stumpfwinkliges. Und dann erhält man drei Viertel, 75%. Bei diesem einfachen Modell erhält man ein stumpfes Dreieck in drei Viertel der Fälle. Es ist auch wieder wahrscheinlicher, dass ein stumpfwiegliches Dreieck rauskommt. Bei dieser ganz einfachen Briefumschlagsrechnung, wie man es manchmal nennen würde, weil es auf die Rückseite von einem alten Briefumschlag passt. So, allerdings ist es wirklich so, dass ähnliche Dreiecke nur einmal betrachtet werden sollen und was ist mit diesen Winkeln? Sind die Winkel wirklich so verteilt? Was, wenn ein Dreieck viel mehr ähnliche Dreiecke hatte als ein anderes? Sollte dann nicht das erste mehr gewichtet werden? Es kommt ja häufiger vor, wenn wir wirklich einfach ein zufälliges Dreieck ziehen. Ja, ein anderes, vielleicht genaueres Modell ergibt sich, indem man die Koordinaten der Eckpunkte betrachtet. Also bisher haben wir noch überhaupt nicht über Koordinaten geredet. Also wenn ich mir so eine Ebene vorstelle, in der die Dreiecke jetzt liegen, stelle ich mir eigentlich immer so eine Koordinatenebene vor. Ja, so ein XY-Koordinatensystem. Habt ihr vielleicht auch gemacht? Und das ist auf jeden Fall eine sinnvolle Idee, vielleicht einfach die Eckpunkte zufällig zu erzeugen. Denn wenn ich drei Punkte irgendwie zufällig in der Ebene erzeuge, dann entweder sie liegen auf einer Geraden, aber das ist sehr unwahrscheinlich, mit Wahrscheinlichkeit Null passiert das, wenn ich das irgendwie mit einer sinnvollen Verteilung die Punkte ziehe oder sie bilden halt ein Dreieck. Okay, also könnte ich auch so zufällige Dreieck erzielen. Und das ist vielleicht das, was ihr in eurem Kopf gemacht habt bei der Aufwärmübung, oder? An der Stelle kann ich mal eine gute Quelle nennen, die das alles mit Formeln und noch mehr Theorie unterfüttert, was ich euch hier so erzähle. Das ist nämlich das Paper Random Triangle Theory with Geometry and Applications von Edelman & Strang. Und das ist natürlich auch verlinkt. Und da könnt ihr noch mehr über diese schöne Theorie finden. So, zur Geometrie, also Geometry and Applications of Random Triangle Theory. Zur Geometrie kommen wir jetzt sofort. Später sage ich dann auch noch was zu den Applications. Seid ihr auch schon gespannt, was für Applications es von zufälliger Dreieckstheorie gibt. Und in diesem Paper ist übrigens auch eine Abbildung von tausend zufälligen Dreiecken, die ich neulich auf Mastodon gepostet habe, die auch sehr zu einer guten Belustigung geführt hat. Und die ihr, wenn ihr einen geeigneten Podcast-Player habt, auch jetzt in eurem Podcast-Player seht, Und warum gibt es in diesem Paper ein Bild von tausend zufälligen Dreiecken? Das ist vielleicht gar nicht so verbreitet, aber die Mathematik ist ja doch auch manchmal eine experimentelle Wissenschaft. Also wenn man sowas über Wahrscheinlichkeiten untersuchen will, warum macht man das nicht einfach mal? Warum macht man nicht mal einfach tausend zufällige Dreiecke? Ich glaube, vor 100 Jahren wäre das komplett natürlich gewesen, dass eine Veröffentlichung zu dem Thema auch so eine Tabelle enthalten hätte mit wirklich zufälligen Dreiecken, die irgendwie ausgewürfelt worden wären, mühsam. Also damals gab es ja auch Bücher mit Zufallszahlen. Bevor man Zufallszahlen gut erzeigen könnte, gab es Bücher, die voll waren mit Zufallszahlen. Ja. Wenn man mal eine Zufallszahl brauchte. Und das ist in dem gleichen Geiste von dieser Art von experimentellen Mathematik, wie sie mir sehr gefällt, haben sie auch tausend zufällige Dreiecke. Also nur so eine halbe Seite, also die passen ganz gut hin. Und dann könnt ihr ja mal selbst eure Statistik machen, wie viele von denen stumpfwinklig sind. Ich finde das jedenfalls sehr nett. Und wie wurde dieses Bild von diesen tausend Dreiecken jetzt erzeugt? Nämlich durch dieses zufällige Ziehen der Koordinaten der Eckpunkte. Da muss man sich natürlich auch fragen, welche Zufälligkeit man da jetzt nehmen soll. Man kann jetzt nicht jeden Punkt im R2 einfach gleichwahrscheinlich machen, weil der R2 unbeschränkt ist und es damit zu viele Punkte gibt. Aber dieses Problem, eine oder mehrere zufällige reelle Zahlen zu erzeugen, ist natürlich auch gelöst. Und die normalste Idee der Welt ist die sogenannte Normalverteilung zu benutzen, auch die gaussische Glockenkurve genannt oder Gaussverteilung. Und die zugehörige Glockenkurve, die war auch mal auf dem 10-Mark-Schein abgebildet, die Älteren erinnern sich. Und wenn man Zufallszahlen damit erzeugt, dann sind die eben mit höherer Wahrscheinlichkeit irgendwo in der Nähe der Null, also haben nicht so großen Betrag, sie sind symmetrisch, also eine Zahl und Minus eine Zahl sind gleich wahrscheinlich, aber das ist eben eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die durch eine Dichte gegeben ist, also man kann immer nur Wahrscheinlichkeiten angeben, dass die, Ergebniszahl in einem bestimmten Intervall liegt oder in einer Teilmenge von den reellen Zahlen und nicht die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie jetzt genau Pi rausgibt. Also diese Wahrscheinlichkeit wäre 0 oder man braucht sie nicht interpretieren. So, das ist aber ein sehr gutes Modell und um ein zufälliges Dreieck zu erzeugen, können wir jetzt die Koordinaten seiner Eckpunkte eben zufällig auswürfeln, sage ich jetzt mal. Obwohl wir natürlich nicht einen Würfel verwenden, sondern eben diese Normalverteilung. Also da müssen wir sechs Zahlen erzeugen für je zwei Einträge der drei Eckpunkte. Die sechs kann man auch, wenn man möchte, auf vier reduzieren, denn eigentlich kann man einen der Punkte immer als den Nullpunkt ansehen, also das Dreieck dadurch einfach nur verschieben und alle Eigenschaften, die wir hier betrachten, ändern sich nicht unter dieser Verschiebung. Also das kann man machen, wenn man möchte, das als vier solche normal verteilten Zufallszahlen oder sechs normal verteilte Zufallszahlen auffassen. Und die Autoren von dem Paper, die haben dann auch wieder da ein Experiment gemacht, sie wollten das gerne irgendwie sehen. Also man kann jetzt natürlich diese Dreiecke erzeugen, indem man diese ganzen Zufallszahlen erzeugt, aber wie kann man sich ein Bild verschaffen von dieser Gesamtheit? Also, was für Eigenschaften hat diese Menge aller Dreiecke, was für Eigenschaften hat diese Verteilung? Wie kann man das irgendwie fassen? Und das ist so ein typischer Denke in der Mathematik. Man kann natürlich so diese tausend Dreiecke irgendwie hinmalen, einfach mal tausend erzeugen und dann kriegt man auch einen Eindruck. Aber die Denke, die jetzt hier vorherrscht, ist irgendwie die ganze Verteilung wieder in einen Raum, eine Menge zu überführen, mit der man arbeiten kann. Und diese Idee, die wird jetzt hier sehr schön ausgeführt und dazu nehmen Sie jetzt statt nur 1000 Dreiecken, nehmen Sie jetzt 50.000 Dreiecke und berechnen für jedes von diesen Dreiecken die Kantenlängen. Okay, also man hat ja die Koordinaten jetzt gezogen und jetzt kann man auch die Kantenlängen ausrechnen und die Kantenlängen, die nennen wir, nennen wir sie klein a, klein b, klein c. So, und da nun die Größe des Dreiecks keine Rolle spielt, kann man diese Kantenlängen noch irgendwie normalisieren. Also man könnte jetzt zum Beispiel sagen, man skaliert das immer so, dass eine von den Kantenlängen 1 ist, das ist aber, es bricht irgendwie diese Symmetrie. Also es gibt irgendwie so eine Symmetrie, es gibt drei Kantenlängen und jede von denen ist jetzt eine Zufallszahl mit irgendeiner Verteilung, die wir nicht kennen. Und wie erhält man die Symmetrie? Man macht eine Normalisierung, die die Symmetrie auch eingebaut hat und sie entscheiden sich dafür, a² plus b² plus c², also die Summe der Quadrate der Kantenlängen, auf 1 zu setzen. Also Sie nehmen das Dreieck, berechnen die Kantenlängen ABC und teilen alle Koordinaten durch den geeigneten Faktor, sodass danach A² plus B² plus C² gleich 1 gilt. So, woher kennen wir diese Gleichung? a² plus b² plus c² gleich 1, das beschreibt die Oberfläche einer Kugel im dreidimensionalen Raum. Das sind alle Punkte, deren Koordinaten a, b, c, a² plus b² plus c² gleich 1 erfüllen. Und das Dreieck mit den Kantenlängen ABC wird jetzt repräsentiert durch den Punkt A², B², C². Okay, das kann man machen. Also da die Zahlen ABC positiv sind, können wir die auch durch ihre Quadrate ersetzen, immer noch das Dreieck repräsentieren. Und dieser Punkt liegt dann in der Ebene, die erfüllt Summe der Koordinaten gleich 1 und die kann man malen. Okay, und dann entsteht ein Bild, was ihr euch jetzt in eurer Podcast-App anschauen könnt und ich werde es auch ein bisschen beschreiben, falls ihr das nicht könnt. Wir sehen vor uns eine Kollektion von Punkten, die einen Kreis bildet. Es sind 50.000 Punkte geplottet und sie sind offensichtlich in einem Kreis enthalten. Warum das so ist, ist nicht komplett offensichtlich. Das hat mit der Dreiecksungleichung zu tun. Die Dreiecksungleichung lautet ja, dass die Summe von zwei Längen von Kanten in einem Dreieck immer größer gleich der Länge der dritten Seite ist und das führt eben dazu, dass diese Punkte auf einem Kreis liegen. Und am Rand des Kreises sind die Dreiecke, die sehr stumpfwinklig sind, mit einem Winkel 180 Grad. Also genau auf dem Rand sind degenerierte Dreiecke, wo ein Winkel 180 Grad ist und die anderen beiden Winkel null, also die komplett platt gedrückt wurden. So, die zweite Beobachtung, die sie machen, betrifft die rechtwinkligen Dreiecke. Also wir sehen diese Punktwolke vor uns und ein paar von diesen Punkten kommen von rechtwinkligen Dreiecken her. Und wir können uns fragen, wo liegen denn diese rechtwinkligen Dreiecke? Denn wir werden uns ja gleich fragen, wo liegen denn die stumpfwinkligen und wo liegen die spitzwinkligen? und dazwischen, als Grenze dazwischen, sollten ja irgendwie die rechtwinkligen liegen. Und es ist so, dass die rechtwinkligen Dreiecke auf einem gleichseitigen Dreieck liegen, was in diesen Kreis eingefügt ist. Also stellt euch vor, diesen Kreis, der die Punktwolke enthält und darin einbeschrieben ist ein in der Zeichnung weiß gefärbtes gleichseitiges Dreieck, was da genau reinpasst mit Eckpunkten auf dem Rand und dort liegen die rechtwinkligen Dreiecke. Jetzt habe ich gerade gesagt, am Rand liegen die Dreiecke mit einem Winkel 180 Grad. Es gibt am Rand auch noch andere degenerierte Dreiecke, nämlich ein paar ganz wenige, wo zwei Winkel gegen 90 Grad gehen und einer gegen 0 Grad. Also diese drei Formen von Degenerierten gibt es dann auch und die können auch nahe an einem rechtwinkligen Dreieck sein. So, nun ist es so, dass in dem Inneren dieses Dreiecks, was aus den rechtwinkligen Dreiecken gebildet wird, sich genau die spitzwinkligen Dreiecke befinden. Und außerhalb, zwischen dem Rand des Kreises und dem einbeschriebenen Dreieck befinden sich die stumpfwinkligen Dreiecke. Und es wird noch besser. Jetzt muss man sich natürlich nur noch fragen, wie viele Punkte fallen innerhalb des Dreiecks und wie viele Punkte fallen außerhalb des Dreiecks und dann können wir unsere Frage nach der Wahrscheinlichkeit eines stumpfigen Dreiecks behandeln. Und es stellt sich heraus, dass diese vier Regionen, das Innere des Dreiecks und die drei Kreissegmente, die sich draußen daran befinden. Jeweils ein Viertel der Dreiecke abbekommen, die so zufällig erzeugt werden. Und damit erhalten wir wieder, wie bei unserer kleinen Briefumschlagrechnung, das Ergebnis, dass mit Wahrscheinlichkeit ein Viertel ein zufälliges Dreieck ein spitzwinkliges Dreieck ist und mit einer 75% Dreiviertel-Wahrscheinlichkeit ein zufälliges Dreieck ein stumpfwinkliges Dreieck ist. Wieder eine höhere Wahrscheinlichkeit für stumpfwinklige Dreiecke und sogar die gleiche Wahrscheinlichkeit wie in dem leicht anderen Modell. Also dieses andere Modell, wo wir die Winkel betrachtet haben, die drei Winkel als drei Zahlen, die nicht negativ sind und sich zu 180 Grad addieren, ist ein anderes Modell. Es erzeugt andere Wahrscheinlichkeiten für Dreiecke, aber auch unter diesem Modell drei Viertel der Dreiecke sind stumpfwinklig. Und das ist ja also eigentlich eine interessante Beobachtung, die einen jetzt an diese Zahl irgendwie mehr glauben lässt. So, in dem Paper, natürlich ist sozusagen solche Zufälle gibt es nicht in der Mathematik, in dem Paper wird es jetzt noch weiter untersucht. In dieser Struktur steckt noch viel mehr drin. Also man kann, nachdem man das Paper gelesen hat, über Dreiecke nicht mehr so denken, wie man vorher über Dreiecke gedacht hat. Es stellt sich nämlich heraus, dass diese... Kreisscheibe, die ich euch gerade so mühsam beschrieben habe, ich hoffe, ihr habt sie im Kapitelbild oder auf Mastodon gesehen, dass diese Kreisscheibe eigentlich die Draufsicht auf eine obere Halbkugel ist. Der natürliche Raum, argumentiert dieses Paper. In dem zufällige Dreiecke leben, ist eine Halbkugel und wir haben mit unserem kleinen Kreisbild, haben wir von oben auf diese Halbkugel geschaut, deswegen sieht sie uns aus wie ein Kreis und das Dreieck der rechtwinkligen Dreiecke besteht aus Äquatorialabschnitten, die so ein Dreieck bilden Und die Verteilung der Dreiecke mit diesen normal verteilten Koordinaten ist gleichförmig, ist uniform, wie man sagt, auf dieser oberen Halbkugel und diese etwas nicht dem Flächeninhalt entsprechende Verteilung mit einer dichteren Verteilung am Rand ergibt sich eben durch diese Draufsicht. Und das ist sogar fett gedruckt auf der ersten Seite des Papers. Das zentrale Resultat der Shape Theory, also der Formen-Theorie ist, dass die Dreiecksformen natürlich auf eine Halbkugel fallen. Und ja, die alte Frage von Lewis Carroll kann jetzt mit dieser interessanten Geometrie der Verteilung auf einer Halbkugel erklärt werden. Natürlich wäre das nicht ein Mathepaper, wenn es nicht noch alle möglichen Verbindungen zu anderen Gebieten der Mathematik geben könnte. Also eine sehr schöne Idee ist zum Beispiel auch ein, Das Standarddreieck herzunehmen, sagen wir mal ein gleichseitiges, was irgendwie beim Koordinatenursprung zentriert ist und dann eine zufällige Koordinatentransformation, also inklusive Drehung, Streckung und eben durch eine 2-Kreuz-2-Matrix, wie wir es in der linearen Algebra machen. Dargestellte Koordinatentransformation auf das Standarddreieck anzuwenden und so ein zufälliges Dreieck zu erzeugen. Und wenn die Matrix, die diese Koordinatentransformation beschreibt, eben auch wieder normal verteilte Einträge hat, dann ergibt das wieder genau das gleiche und das eröffnet einem aber dann einen Zugang zu diesen Fragen über die Dreiecke mit Hilfe von der Zufallsmatrizentheorie. Also dann, es ist ein Gebiet der Mathematik, das sich damit beschäftigt, was für Eigenschaften haben zufällige Matrizen und auch dieses große Gebiet, wo schon viel Forschung betrieben wurde, kann man dann hier in Stellung bringen und Aussagen über die Dreiecksformen machen und das wird auch alles in dem schönen Paper von Edelman & Strang beschrieben. So, nun erhält das Paper natürlich auch nicht alle Antworten. Es ist tatsächlich so, dass es bis heute unklar ist, warum bei dem Winkelmodell und bei dem sehr theoretisch vierfach untermauerten Halbkugelmodell jeweils drei Viertel rauskamen. Also in der Mathematik glaubt niemand an solche Zufälle, deswegen gibt es irgendwie die Suche nach einer direkten Erklärung, also einem, ja, irgendwie direkten Zusammenhang, einer Transformation zwischen den beiden Modellen. Aber das ist gar nicht so leicht, denn die Verteilungen sind wirklich unterschiedlich. Wenn ich jetzt sage, ich ziehe die zufälligen Winkel oder ich nehme diese normal verteilten Punkte in der Ebene, dann bekomme ich eine unterschiedliche Zufälligkeit, also eine unterschiedliche Verteilung bei den Dreiecken. Und trotzdem ist in beiden Fällen korrekt berechnet die Wahrscheinlichkeit für einen stumpfen Winkel Dreiviertel. Und warum das so ist, warum beide Male Dreiviertel rauskommt. Das ist eben das offene Problem. So, dann kommen wir langsam zum Abschluss. Ich hatte noch Applications versprochen, oder was heißt ich versprochen? Der Titel des Papers hat Applications versprochen, aber nun gut, ich sag mal so, das ist wieder so eine Sache mit den Anwendungen, also die Anwendungen, die die beiden im Sinn haben, die sind, wie soll ich sagen, in der Mathematik zu suchen. Im letzten Kapitel des Artikels geht es dann mal allgemeiner um die sogenannte Shape Theory und die Beobachtung, die man von drei Ecken verallgemeinern kann. Und da ist eben diese Theorie der zufälligen Matrizen und Wahrscheinlichkeitsverteilung auf geometrischen Objekten, die erlaubt dann auch in höheren Dimensionen noch Verbindungen. Also letztendlich hat sich herausgestellt, dass wenn man solche Fragen stellen will über zufällige geometrische Objekte, dass es dann oft sinnvoll ist, eben die Theorie der zufälligen Matrizen zu betrachten und aus dieser Theorie Ergebnisse zu importieren, könnte man sagen. Wenn Sie Anwendungen sagen, hatten Sie vielleicht im Sinn, dass man aus der Theorie der Dreiecke etwas in die Theorie der Zufallsmatrizen übersetzen kann, aber ich weiß nicht genau, ob Ihnen das gelungen ist. Jedenfalls warten mit Verallgemeinerung da noch viele spannende mathematische Probleme, denn, gut, wir haben jetzt immer drei Punkte in der Ebene genommen, die spannen dann immer ein Dreieck auf, außer sie liegen auf einer Geraden, aber wenn man vier Punkte nimmt. Dann kann man sich ja zum Beispiel auch fragen, was ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ein Dreieck aufspannen oder dass die ein Viereck aufspannen? Also wenn man vier Punkte in die Ebene malt, dann könnten die eben ein Viereck als konvexe Hülle haben, wie man sagt. Also wenn man so ein Gummiband um die Punkte spannt. Oder einer liegt so in der Mitte, in einem Dreieck, was von dreien aufgespannt wird. Und dann sehen wir, was ist die Wahrscheinlichkeit von diesen beiden Situationen? Oder sagt ihr, ihr nehmt 100 Punkte und die konvexe Hülle in der Ebene. Und das Objekt ist ein Polygon, also zweidimensionales Polytop. Und wie viele Kanten würdet ihr erwarten, hat das? Eher so fünf Kanten oder eher so 15 Kanten oder eher so 50 Kanten? Oder ihr macht das in höheren Dimensionen, wenn ihr zufällige Pyramide erzeugt, indem ihr vier Punkte im dreidimensionalen Raum nehmt oder die konvexe Hülle von 100 Punkten im dreidimensionalen Raum. Und das sind alles Fragen, mit denen man sich auseinandersetzen kann, entweder in seiner Forschung, in der zufälligen Geometrie, in der Shape Theory, oder wenn man mal wieder nicht einschlafen kann und auf seinem Kopfkissen darüber nachdenken möchte. So, und das war meine Geschichte der zufälligen Dreiecke. Damit wünsche ich euch eine geruhsame Nacht oder einen schönen Tag oder was auch immer ihr noch vorhabt heute. Und ich hoffe, wir hören uns auch beim nächsten Mal hier im Eigenraum. Und bis dahin, alles Gute. Tschüss. https://eigenpod.de/eig051-dreiecke-unterm-kopfkissen/